Calcule as integrais usando o método das frações parciais.
integral 2 x(x-1)(x^2+5) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x(x-1)(x^2+5),dx
usando o método de frações parciais. Vamos decompor a função racional em termos mais simples e depois integrar cada parte.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais da forma
2x(x-1)(x^2+5) = Ax-1 + Bx + Cx^2+5

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x^2+5) para obter a identidade
2x = A(x^2+5)+(Bx+C)(x-1)
Expandindo o segundo termo:
(Bx+C)(x-1)=B x^2+(C-B)x -C
Somando com A(x^2+5)=A x^2+5A, temos
2x = (A+B)x^2 + (C-B)x + (5A - C)
Igualando coeficientes em x^2, x e termo constante:
A + B = 0, C - B = 2, 5A - C = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação B=-A.
  • Da terceira C=5A.
  • Na segunda 5A -(-A)=2 6A=2, logo A=tfrac13.
  • Então B=-tfrac13 e C=tfrac53.

Passo 5

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral 2x(x-1)(x^2+5),dx = integral!l(1/3x-1+-tfrac13x+tfrac53x^2+5r),dx
Isto é
13integraldxx-1 -13integralxx^2+5,dx +53integraldxx^2+5

Passo 6

Calculamos cada integral:
  1. 13integraldxx-1=13lnlvert x-1rvert
  2. Para integralxx^2+5,dx, faça u=x^2+5, du=2x,dx, então integralxx^2+5,dx =12integralduu =12ln(x^2+5) Multiplicado por -tfrac13 -tfrac16ln(x^2+5)
  3. integraldxx^2+5=1raiz5arctan!l(tfracxraiz5r) Multiplicado por tfrac53 tfrac53raiz5arctan!l(tfracxraiz5r)=tfracraiz53arctan!l(tfracxraiz5r)

Passo 7

Somando tudo e acrescentando a constante C, obtemos a primitiva final.

Resposta

boxed integral 2x(x-1)(x^2+5),dx = 13lnlvert x-1rvert - 16lnl(x^2+5r) + raiz53arctan!l(tfracxraiz5r) + C

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