Calcule as integrais usando o método das frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o método de frações parciais. Vamos decompor a função racional em termos mais simples e depois integrar cada parte.
Passo 2
Assumimos a decomposição em frações parciais da forma
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para obter a identidade
Expandindo o segundo termo:
Somando com
, temos
Igualando coeficientes em
,
e termo constante:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação
.B=-A - Da terceira
.C=5A - Na segunda
dá5A -(-A)=2 , logo6A=2 .A=tfrac13 - Então
eB=-tfrac13 .C=tfrac53
Passo 5
Reescrevendo a integral com esses valores:
Isto é
Passo 6
Calculamos cada integral:
-
13integraldxx-1=13lnlvert x-1rvert - Para
, façaintegralxx^2+5,dx ,u=x^2+5 , entãodu=2x,dx Multiplicado porintegralxx^2+5,dx =12integralduu =12ln(x^2+5) dá-tfrac13 -tfrac16ln(x^2+5) -
Multiplicado porintegraldxx^2+5=1raiz5arctan!l(tfracxraiz5r) dátfrac53 tfrac53raiz5arctan!l(tfracxraiz5r)=tfracraiz53arctan!l(tfracxraiz5r)
Passo 7
Somando tudo e acrescentando a constante
C , obtemos a primitiva final.