Calcule as integrais usando a mudança de variáveis polares
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região semicircular de raio
no semiplano
. Vamos usar coordenadas polares, pois a integranda depende de
e a região é um semicírculo.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
e o elemento de área é
. A região
corresponde a
Logo a integral vira
Passo 3
Para a integral em
usamos a substituição
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 4
A integral em
é simples:
Multiplicando pelos resultados, obtemos