Calcule as integrais usando a mudança de variáveis polares
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 sen(x^2+y^2) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral-3^3integral0^raiz9-x^2senl(x^2+y^2r),dy,dx
sobre a região semicircular de raio 3 no semiplano y>=0. Vamos usar coordenadas polares, pois a integranda depende de x^2+y^2 e a região é um semicírculo.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, x^2+y^2=r^2,
e o elemento de área é dx,dy = r,dr,dtheta. A região -3<= x<=3,;0<= y<=raiz9-x^2 corresponde a
0<= r<=3, 0<=theta<=pi
Logo a integral vira
integraltheta=0^piintegralr=0^3senl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Para a integral em r usamos a substituição u=r^2implies du=2r,dr, então r,dr = tfracdu2 e quando r vai de 0 a 3, u vai de 0 a 9. Assim
integral0^3senl(r^2r),r,dr = 12integral0^9sen(u),du = 12l[-cos(u)r]0^9 = 12l(1-cos 9r)

Passo 4

A integral em theta é simples:
integral0^pidtheta = pi
Multiplicando pelos resultados, obtemos
integral0^pi!!integral0^3senl(r^2r),r,dr,dtheta = pi cdot 12l(1-cos 9r) = pi2l(1-cos 9r)

Resposta

pi2,l(1 - cos 9r)

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