Suponha
uma função contínua no intervalo
, definimos o valor médio de
no intervalo (
) como
Use o Teorema do valor médio para demonstrar o seguinte Teorema
Teorema 1 Seja
contínua em
, então existe um número
tal que
Dica: estude a função
.
Teorema 1 Seja
Passo 1
O enunciado pede provar que, para toda função contínua
, existe um ponto
tal que
Esse é o chamado Teorema do Valor Médio para integrais. A dica sugere usar o Teorema do Valor Médio para derivadas (Teorema de Lagrange), aplicando-o a uma primitiva de
.
Passo 2
Definimos a função
Pela continuidade de
, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que
é diferenciável em
e
Passo 3
Como
é contínua em
e diferenciável em
, o Teorema de Lagrange diz que existe
tal que
Passo 4
Pelo que definimos,
Logo,
Resposta
Existe
tal que