Suponha f: R R uma função contínua no intervalo [a, b], definimos o valor médio de f no intervalo ( a, b ) como
f med =1b-a integrala^b f(x) d x
Use o Teorema do valor médio para demonstrar o seguinte Teorema
Teorema 1 Seja f: R R contínua em [a, b], então existe um número c in[a, b] tal que
f(c)=1b-a integrala^b f(x) d x
Dica: estude a função F(x)=integrala^x f(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede provar que, para toda função contínua f:[a,b]toR, existe um ponto cin[a,b] tal que
f(c) =1b-aintegrala^bf(x),dx
Esse é o chamado Teorema do Valor Médio para integrais. A dica sugere usar o Teorema do Valor Médio para derivadas (Teorema de Lagrange), aplicando-o a uma primitiva de f.

Passo 2

Definimos a função
F(x)=integrala^xf(t),dt
Pela continuidade de f, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que F é diferenciável em [a,b] e
F'(x)=f(x)para todo xin[a,b]

Passo 3

Como F é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), o Teorema de Lagrange diz que existe cin(a,b) tal que
F'(c) =F(b)-F(a)b-a

Passo 4

Pelo que definimos,
F(b)=integrala^bf(t),dt e F(a)=integrala^af(t),dt=0
Logo,
f(c)=F'(c) =1b-al(F(b)-F(a)r) =1b-aintegrala^bf(t),dt

Resposta

Existe cin[a,b] tal que
f(c) =1b-aintegrala^bf(x),dx

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