Determine o Jacobiano das seguintes transformações
varphi(r, theta)=(e^-r sen(theta), e^r cos (theta))

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
varphi(r,theta)=(x,y), onde
x=e^-rsin(theta), y=e^rcos(theta),
e pede o determinante do Jacobiano, ou seja
J(r,theta)=det partial xpartial r & partial xpartial theta[6pt] partial ypartial r & partial ypartial theta
Para isso, vamos calcular cada derivada parcial.]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x e y:
partial xpartial r =partialpartial rl(e^-rsinthetar) =-e^-rsintheta,
partial xpartial theta =partialpartial thetal(e^-rsinthetar) =e^-rcostheta,
partial ypartial r =partialpartial rl(e^rcosthetar) =e^rcostheta,
partial ypartial theta =partialpartial thetal(e^rcosthetar) =-e^rsintheta

Passo 3

Agora montamos o determinante:
J(r,theta) =det -,e^-rsintheta & e^-rcostheta[4pt] e^rcostheta & -,e^rsintheta =(-e^-rsintheta)(-e^rsintheta) -l(e^-rcosthetar)l(e^rcosthetar)
Como e^-re^r=1, isso dá
J(r,theta)=sin^2theta - cos^2theta = -cos(2theta) ]

Resposta

J(r,theta)=sin^2theta - cos^2theta = -cos(2theta)

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