Prove o seguinte Teorema
Teorema 2 Seja
uma função contínua em um conjunto
fechado e limitado, então existe um ponto
tal que
onde
denota a área do conjunto
.
Passo 1
O enunciado é o Teorema do valor médio para integrais duplas: se
é contínua em um conjunto
fechado, limitado (e conectado) de área
, então existe
tal que
Para provar isso, vamos usar os seguintes resultados:
- Teorema do valor extremo (continuidade em compacto implica existência de mínimo e máximo).
- Desigualdade para integrais ao comparar com constantes (se
então ). - Teorema do valor intermediário (continuidade numa parte conectada atinge todos os valores entre mínimo e máximo).
Passo 2
Como
é fechado e limitado, ele é compacto, e
é contínua em
. Pelo Teorema do valor extremo, existem
Ou seja, para todo
vale
Passo 3
Integrando essa desigualdade sobre
, obtemos
Como
e
são constantes,
Dividindo tudo por
, resulta
Passo 4
Defina o valor médio
Pelo que vimos,
. Como
é conectado e
é contínua, a imagem
é um intervalo que contém
e
. Pelo Teorema do valor intermediário, existe
tal que
Resposta
Dessa forma, existe
tal que
como queríamos demonstrar.