Prove o seguinte Teorema
Teorema 2 Seja f: R^2 R uma função contínua em um conjunto D fechado e limitado, então existe um ponto (x0, y0) in D tal que
1A(D) integral duplaD f(x, y) d A=f(x0, y0)
onde A(D) denota a área do conjunto D.

Passo 1

O enunciado é o Teorema do valor médio para integrais duplas: se fcolonR^2toR é contínua em um conjunto DsubsetR^2 fechado, limitado (e conectado) de área A(D)>0, então existe l(x0,y0r)in D tal que
1A(D)integral duplaDf(x,y),dA ;=; fl(x0,y0r)
Para provar isso, vamos usar os seguintes resultados:
  1. Teorema do valor extremo (continuidade em compacto implica existência de mínimo e máximo).
  2. Desigualdade para integrais ao comparar com constantes (se m<= f<= M então mA(D)<=integral f<= MA(D)).
  3. Teorema do valor intermediário (continuidade numa parte conectada atinge todos os valores entre mínimo e máximo).

Passo 2

Como D é fechado e limitado, ele é compacto, e f é contínua em D. Pelo Teorema do valor extremo, existem
m ;=;min(x,y)in Df(x,y), M ;=;max(x,y)in Df(x,y)
Ou seja, para todo (x,y)in D vale
m ;<=; f(x,y);<=; M

Passo 3

Integrando essa desigualdade sobre D, obtemos
integral duplaDm,dA ;<=;integral duplaDf(x,y),dA;<=;integral duplaDM,dA
Como m e M são constantes,
m,A(D);<=;integral duplaDf(x,y),dA;<=;M,A(D)
Dividindo tudo por A(D)>0, resulta
m ;<=;1A(D)integral duplaDf(x,y),dA;<=;M

Passo 4

Defina o valor médio
bar f ;=;1A(D)integral duplaDf(x,y),dA
Pelo que vimos, m<=bar f<= M. Como D é conectado e f é contínua, a imagem f(D) é um intervalo que contém m e M. Pelo Teorema do valor intermediário, existe l(x0,y0r)in D tal que
fl(x0,y0r);=;bar f

Resposta

Dessa forma, existe l(x0,y0r)in D tal que
1A(D)integral duplaDf(x,y),dA ;=; fl(x0,y0r),
como queríamos demonstrar.

Exercícios relacionados