Calcule as integrais usando a regra da substituição
integral-1^-1 / 2 t^-2 sin ^2(1+1t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^-1/2 t^-2,sin^2!l(1+tfrac1tr),dt
usando a regra da substituição. O conteúdo da matéria é técnica de mudança de variável para integrar funções compostas.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 + 1t,
de onde
du = -1t^2,dt Longrightarrow t^-2,dt = -,du
Agora trocamos também os limites: quando t=-1 temos u=1+1/(-1)=0, e quando t=-tfrac12 temos u=1+1/(-tfrac12)=-1.

Passo 3

A integral original vira
integralt=-1^t=-1/2 t^-2,sin^2!l(1+tfrac1tr),dt = integralu=0^u=-1 -sin^2(u),du = integralu=-1^u=0 sin^2(u),du

Passo 4

Para integrar sin^2(u) usamos a identidade
sin^2(u) = 1-cos(2u)2
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integral-1^0 sin^2(u),du = 12 integral-1^0l(1-cos(2u)r),du = 12 l[u - tfrac12sin(2u)r]-1^0

Passo 5

Avaliando em u=0 e u=-1:
em u=0 0 - tfrac12sin0 = 0,
em u=-1 -1 - tfrac12sin(-2) = -1 + tfrac12sin2.
Subtraindo e multiplicando por tfrac12 resulta
12l[0 -l(-1 + tfrac12sin2r)r] = 12 - 14sin2

Resposta

12 - 14sin(2)

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