Calcule os limites envolvendo funções trigonométricas
lim x 0 sen^2(a x^2)x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite envolvendo função trigonométrica:
limxto0sen^2l(a x^2r)x^4,
O conteúdo principal aqui é o limite fundamental
limtto0sen tt=1
e sua aplicação a expressões que envolvem potências de x.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a usar o limite fundamental. Note que
senl(a x^2r) =senl(a x^2r)a x^2;l(a x^2r)
Elevando ao quadrado e dividindo por x^4, obtemos
sen^2l(a x^2r)x^4 =sen^2l(a x^2r)l(a x^2r)^2;(a x^2)^2x^4 =gl(senl(a x^2r)a x^2gr)^!2;a^2

Passo 3

Ao fazermos xto0, temos a x^2to0. Pelo limite fundamental,
limxto0senl(a x^2r)a x^2=1
Logo,
limxto0gl(senl(a x^2r)a x^2gr)^!2 =1^2=1

Passo 4

Concluímos que
limxto0sen^2l(a x^2r)x^4 =1cdot a^2 =a^2

Resposta

a^2

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