[Reduzindo a Variáveis Separáveis] Considere uma equação diferencial ordinária da forma
onde
é uma função real diferenciável. Ponha
e transforme-a em
, a qual, separando as variáveis, fica
Usando esta técnica, encontre a solução geral das equações abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
usando a técnica de redução por variáveis separáveis via a substituição
.
Passo 2
Reescrevemos a equação de modo a expor
. Da equação dada,
segue
Definindo
, temos
e
Substituindo em
obtém-se
Passo 3
Isolamos
:
logo
Separando variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Podemos juntar logs:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Voltando a
, como
:
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.