[Reduzindo a Variáveis Separáveis] Considere uma equação diferencial ordinária da forma
y^prime=g(y / x)onde g é uma função real diferenciável. Ponha u=y / x e transforme-a em u+x u^prime=g(u), a qual, separando as variáveis, fica
d ug(u)-u=d xx
Usando esta técnica, encontre a solução geral das equações abaixo:
2 x y y^prime-y^2+x^2=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
2x,y,y' - y^2 + x^2 = 0
usando a técnica de redução por variáveis separáveis via a substituição u = y/x.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a expor y'. Da equação dada,
2x,y,y' = y^2 - x^2
segue
y' = y^2 - x^22x,y
Definindo u = y/x, temos y = u,x e
y' = u + x,u'
Substituindo em y' = (y^2-x^2)/(2xy) obtém-se
u + x,u' = u^2x^2 - x^22x,(u,x) = u^2-12u

Passo 3

Isolamos x,u':
x,u' = u^2-12u - u = -,u^2+12u,
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dudx = -u^2+12u,x
Separando variáveis:
2uu^2+1,du = -,dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 2uu^2+1,du = integral -dxx ;Longrightarrow; lnl(u^2+1r) = -ln|x| + C1
Podemos juntar logs:
lnl(x,(u^2+1)r) = C1 Longrightarrow x,(u^2+1) = C,
onde C=e^C1 é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a y, como u=y/x:
xl((y/x)^2+1r)=C ;Longrightarrow; y^2x+x=C ;Longrightarrow; y^2+x^2=C,x

Resposta

A solução geral é
y^2 + x^2 = C,x,
com C constante arbitrária.

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