Problema 20-16

Enunciado: Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano \pi: y=z, sabendo que a medida angular entre r e s: X=(1,1,2)+\lambda(1,-1,0) é 60^{\circ} e que r dista 1 do ponto P=(1,0,0).
  1. Vetor Diretor de \mathbf{r} : Seja \vec{v}_{r}=(a, b, c) o vetor diretor de r. Como r está contida em \pi: y-z=0, seu vetor diretor é perpendicular ao normal do plano, \vec{n}_{\pi}=(0,1,-1).
\vec{v}_{r} \cdot \vec{n}_{\pi}=0 \Longrightarrow b-c=0 \Longrightarrow b=c
Logo, \vec{v}_{r}=(a, b, b).
2. Condição do Ângulo: O ângulo entre r e s é 60^{\circ}, então \cos \left(60^{\circ}\right)=1 / 2. O vetor diretor de s é \vec{v}_{s}=(1,-1,0).
\frac{1}{2}=\frac{\left|\vec{v}_{r} \cdot \vec{v}_{s}\right|}{\left\|\vec{v}_{r}\right\| \cdot| | \vec{v}_{s}| |}=\frac{|a-b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+b^{2}} \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}}=\frac{|a-b|}{\sqrt{a^{2}+2 b^{2}} \sqrt{2}}
Elevando ao quadrado: \frac{1}{4}=\frac{(a-b)^{2}}{2\left(a^{2}+2 b^{2}\right)} \Longrightarrow a^{2}+2 b^{2}=2(a-b)^{2}=2 a^{2}-4 a b+2 b^{2} \Longrightarrow a^{2}-4 a b=0 \Longrightarrow a(a-4 b)=0. Temos duas possibilidades para o vetor diretor:
  • Caso 1: a=0 . \vec{v}_{r} é paralelo a ( 0, b, b ), ou seja, ( \mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1} ).
  • Caso 2: a=4 b, \vec{v}_{r} é paralelo a ( 4 b, b, b ), ou seja, ( \mathbf{4}, \mathbf{1}, \mathbf{1} ).
  1. Condição de Distância: A reta r tem um ponto P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) que está em \pi, então y_{0}=z_{0}. Logo P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, y_{0}\right). A distância de P(1,0,0) a r é 1 . Usaremos o Caso 1 para encontrar uma solução.
    Usando \vec{v}_{r}=(0,1,1) :
\begin{gathered} d(P, r)^{2}=\frac{\left\|\overrightarrow{P_{0} P} \times \vec{v}_{r}\right\|^{2}}{\left\|\vec{v}_{r}\right\|^{2}}=1 \\\ \overrightarrow{P_{0} P}=P-P_{0}=\left(1-x_{0},-y_{0},-y_{0}\right) \cdot \overrightarrow{P_{0} P} \times \vec{v}_{r}=\left(1-x_{0},-y_{0},-y_{0}\right) \times(0,1,1)= \\\ \left(0, x_{0}-1,1-x_{0}\right) .\left\|\overrightarrow{P_{0} P} \times \vec{v}_{r}\right\|^{2}=0^{2}+\left(x_{0}-1\right)^{2}+\left(1-x_{0}\right)^{2}=2\left(x_{0}-1\right)^{2} .\left\|\vec{v}_{r}\right\|^{2}= \\\\ 0^{2}+1^{2}+1^{2}=2 . \\\ \frac{2\left(x_{0}-1\right)^{2}}{2}=1 \Longrightarrow\left(x_{0}-1\right)^{2}=1 \Longrightarrow x_{0}-1= \pm 1 \Longrightarrow x_{0}=2 \text { ou } x_{0}=0 \end{gathered}
A condição de distância fixa a coordenada x_{0} da reta, mas não y_{0}. Podemos escolher qualquer valor para y_{0}. Vamos tomar y_{0}=0 e x_{0}=2. O ponto na reta é P_{0}= (2,0,0) e o vetor diretor é \vec{v}_{r}=(0,1,1).
Solução: Uma possível equação vetorial para a reta r é:
\mathbf{X}=(\mathbf{2}, \mathbf{0}, \mathbf{0})+\lambda(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1}), \quad \lambda \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede uma reta r que pertence ao plano \pi\colon y=z, forma ângulo de 60^\circ com a reta
s\colon \mathbf{X}=(1,1,2)+\lambda(1,-1,0)
e cuja distância ao ponto P=(1,0,0) é 1. Vamos usar: vetor normal do plano, produto escalar para ângulo e fórmula da distância ponto–reta.

Passo 2

O vetor normal de \pi é \vec{n}_\pi=(0,1,-1). Se \vec{v}_r=(a,b,c) é diretor de r\subset\pi, então
\vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=0\quad\Longrightarrow\quad b-c=0\quad\Longrightarrow\quad c=b.
Logo podemos escrever
\vec{v}_r=(a,b,b).

Passo 3

Para o ângulo de 60^\circ vale \cos60^\circ=1/2. Como o diretor de s é \vec{v}_s=(1,-1,0), impomos
\tfrac12=\frac{\bigl|\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s\bigr|}{\|\vec{v}_r\|\;\|\vec{v}_s\|} =\frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+2b^2}\,\sqrt2}.
Elevando ao quadrado e simplificando resulta
a(a-4b)=0,
ou seja, \vec{v}_r pode ser paralelo a (0,1,1) ou a (4,1,1).

Passo 4

Escolhendo a direção \vec{v}_r=(0,1,1), seja P_0=(x_0,y_0,z_0)\in\pi, o que dá y_0=z_0. A fórmula da distância é
d=\frac{\|(P-P_0)\times\vec{v}_r\|}{\|\vec{v}_r\|}=1.
Como P-P_0=(1-x_0,-y_0,-y_0) e
(P-P_0)\times(0,1,1)=(0,\;x_0-1,\;1-x_0),
temos
d^2=\frac{(x_0-1)^2+(1-x_0)^2}{2}=\frac{2(x_0-1)^2}{2}=(x_0-1)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad x_0=0\text{ ou }2.

Passo 5

Para fixar uma reta, escolhemos x_0=2 e, sem perda de generalidade, y_0=z_0=0. Assim
P_0=(2,0,0),\quad \vec{v}_r=(0,1,1),
e uma equação vetorial de r é
\mathbf{X}=(2,0,0)+\lambda(0,1,1),\quad \lambda\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathbf{X}=(2,0,0)+\lambda(0,1,1),\quad\lambda\in\mathbb{R}.

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