Enunciado: Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano \pi: y=z, sabendo que a medida angular entre r e s: X=(1,1,2)+\lambda(1,-1,0) é 60^{\circ} e que r dista 1 do ponto P=(1,0,0).
Vetor Diretor de \mathbf{r} : Seja \vec{v}_{r}=(a, b, c) o vetor diretor de r. Como r está contida em \pi: y-z=0, seu vetor diretor é perpendicular ao normal do plano, \vec{n}_{\pi}=(0,1,-1).
Logo, \vec{v}_{r}=(a, b, b).
2. Condição do Ângulo: O ângulo entre r e s é 60^{\circ}, então \cos \left(60^{\circ}\right)=1 / 2. O vetor diretor de s é \vec{v}_{s}=(1,-1,0).
Elevando ao quadrado: \frac{1}{4}=\frac{(a-b)^{2}}{2\left(a^{2}+2 b^{2}\right)} \Longrightarrow a^{2}+2 b^{2}=2(a-b)^{2}=2 a^{2}-4 a b+2 b^{2} \Longrightarrowa^{2}-4 a b=0 \Longrightarrow a(a-4 b)=0. Temos duas possibilidades para o vetor diretor:
Caso 1: a=0 . \vec{v}_{r} é paralelo a ( 0, b, b ), ou seja, ( \mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1} ).
Caso 2: a=4 b, \vec{v}_{r} é paralelo a ( 4 b, b, b ), ou seja, ( \mathbf{4}, \mathbf{1}, \mathbf{1} ).
Condição de Distância: A reta r tem um ponto P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) que está em \pi, então y_{0}=z_{0}. Logo P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, y_{0}\right). A distância de P(1,0,0) a r é 1 . Usaremos o Caso 1 para encontrar uma solução.
Usando \vec{v}_{r}=(0,1,1) :
A condição de distância fixa a coordenada x_{0} da reta, mas não y_{0}. Podemos escolher qualquer valor para y_{0}. Vamos tomar y_{0}=0 e x_{0}=2. O ponto na reta é P_{0}=(2,0,0) e o vetor diretor é \vec{v}_{r}=(0,1,1).
Solução: Uma possível equação vetorial para a reta r é: