Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.
\int \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2}+5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx
usando uma substituição apropriada. O conteúdo aqui é integração por substituição, ou seja, reconhecer uma parte da integral cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x^{2} + 5.
Diferenciando, temos
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{8}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx = \int \frac{3}{\sqrt{u}}\,(x\,dx) = \int \frac{3}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{8}\,du = \frac{3}{8}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}.
Logo,
\frac{3}{8}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{3}{8}\cdot 2\,u^{\tfrac12} + C = \frac{3}{4}\,u^{\tfrac12} + C.
Voltando a u=4x^{2}+5, fica
\frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5} + C.

Resposta

\int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx = \frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5} + C.

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