Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=\sqrt{x}, x=0, y=2, em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por
y = \sqrt{x},\quad x=0,\quad y=2.
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (ou cilindros de raio variável) usando fatias horizontais.

Passo 2

Para uma fatia horizontal em y, com 0\le y\le 2, o segmento de reta vai de x=0 até
x = y^2.
Ao girar esse segmento em torno do eixo y, gera-se um disco de raio
R(y)=y^2
e espessura \mathrm{d}y. A área do disco é
\pi\bigl(R(y)\bigr)^2 = \pi\,y^4,
logo o elemento de volume é
\mathrm{d}V = \pi\,y^4\,\mathrm{d}y.

Passo 3

Montamos a integral de y=0 até y=2:
V = \int_{0}^{2} \pi\,y^4 \,\mathrm{d}y.

Passo 4

Calculando a integral:
V = \pi \int_{0}^{2} y^4 \,\mathrm{d}y = \pi \biggl[\frac{y^5}{5}\biggr]_{0}^{2} = \pi\cdot\frac{2^5}{5} = \frac{32\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{5}

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