Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^{3}, x=0, x=1 em torno do eixo x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região do plano limitada por \,y=x^3\,,\;x=0\,,\;x=1\ em torno da reta vertical x=2. O conteúdo aqui é cálculo de volume de revolução usando o método das cascas cilíndricas (shells), pois o eixo de rotação é vertical e a variável de integração natural é x.

Passo 2

Consideramos uma casca cilíndrica gerada por um retângulo vertical em x, com espessura \mathrm{d}x.
O raio da casca é a distância horizontal de x até o eixo x=2, isto é
r = 2 - x,
e a altura da casca é dada por y_{\text{top}} - y_{\text{bot}} = x^3 - 0 = x^3.

Passo 3

O volume de cada casca é
\mathrm{d}V = 2\pi \,(\text{raio})\,(\text{altura})\,\mathrm{d}x = 2\pi\,(2 - x)\,x^3\,\mathrm{d}x.
Para obter o volume total, integramos de x=0 até x=1:
V = 2\pi \int_{0}^{1} (2 - x)\,x^3 \,\mathrm{d}x.

Passo 4

Expandindo o integrando e integrando termo a termo, temos
(2 - x)\,x^3 = 2x^3 - x^4,
então
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(2x^3 - x^4\bigr)\,\mathrm{d}x = 2\pi \Bigl[\tfrac{2}{4}x^4 - \tfrac{1}{5}x^5\Bigr]_{0}^{1} = 2\pi \Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{5}\Bigr).

Passo 5

Calculando a diferença dentro do parêntese,
\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{5-2}{10} = \tfrac{3}{10},
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V = 2\pi \cdot \tfrac{3}{10} = \tfrac{3\pi}{5}.

Resposta

O volume do sólido de revolução é \displaystyle \tfrac{3\pi}{5}.

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