Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região do plano limitada por
\ em torno da reta vertical
. O conteúdo aqui é cálculo de volume de revolução usando o método das cascas cilíndricas (shells), pois o eixo de rotação é vertical e a variável de integração natural é
.
Passo 2
Consideramos uma casca cilíndrica gerada por um retângulo vertical em
, com espessura
.
O raio da casca é a distância horizontal de até o eixo
, isto é
O raio da casca é a distância horizontal de
e a altura da casca é dada por
.
Passo 3
O volume de cada casca é
Para obter o volume total, integramos de
até
:
Passo 4
Expandindo o integrando e integrando termo a termo, temos
então
Passo 5
Calculando a diferença dentro do parêntese,
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Resposta
O volume do sólido de revolução é