Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^{3}, y=8, x=0 \mathrm{em} torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá a região do plano limitada por \,y=x^3\,,\\ y=8 e x=0, e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo y. O conteúdo aqui é cálculo de volume por revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas porque giramos em torno de um eixo vertical.

Passo 2

Em cada x entre 0 e 2 (pois x^3=8 x=2), desenhamos uma casca de espessura dx.
  • O raio da casca é r(x)=x.
  • A altura da casca é a diferença entre o topo y=8 e a base y=x^3, ou seja,
h(x)=8 - x^3.

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume é
V=\int_{x=0}^{2}2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx =\int_{0}^{2}2\pi\,x\bigl(8 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
V =2\pi\int_{0}^{2}\bigl(8x - x^4\bigr)\,dx =2\pi\Bigl[\int_{0}^{2}8x\,dx \;-\;\int_{0}^{2}x^4\,dx\Bigr].
As primitivas são
\int 8x\,dx = 4x^2, \quad \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}.
Logo,
V =2\pi\Bigl[4x^2 - \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{2} =2\pi\Bigl(4\cdot2^2 - \tfrac{2^5}{5}\Bigr) =2\pi\Bigl(16 - \tfrac{32}{5}\Bigr) =2\pi\cdot\tfrac{48}{5} =\tfrac{96\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{96\pi}{5}.

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