Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^{3}, y=0, x=2, x=20, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada pelas curvas
y = x^3,\quad y = 0,\quad x=2,\quad x=20.
O método adequado é o dos discos (ou fatias): cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x).

Passo 2

Em um ponto genérico x, a altura da região é
y = x^3,
logo o raio do disco é R(x)=x^3. A área da seção transversal é
A(x)=\pi\bigl[R(x)\bigr]^2 = \pi\,(x^3)^2 = \pi\,x^6.

Passo 3

O volume V é a integral dessa área de x=2 até x=20:
V = \int_{2}^{20} A(x)\,dx = \int_{2}^{20} \pi\,x^6\,dx.

Passo 4

Calcule a primitiva de x^6:
\int x^6\,dx = \frac{x^7}{7}.
Portanto,
V = \pi \left[\frac{x^7}{7}\right]_{2}^{20} = \frac{\pi}{7}\Bigl(20^7 - 2^7\Bigr).

Resposta

V = \frac{\pi}{7}\bigl(20^7 - 2^7\bigr).

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