Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.
\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{2 x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{1}^{5}\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais definidas. Vamos usar a substituição u=2x-1 para simplificar o radical.

Passo 2

Definindo u=2x-1 obtemos
du=2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\tfrac12\,du.
Transformando os limites: em x=1 temos u=2\cdot1-1=1 e em x=5 temos u=2\cdot5-1=9.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int_{x=1}^{x=5}\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\,dx =\int_{u=1}^{u=9}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\tfrac12\,du =\tfrac12\int_{1}^{9}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du =2u^{\tfrac12}.
Multiplicando pelo fator \tfrac12 fica u^{\tfrac12}. Agora avaliamos de u=1 até u=9:
u^{\tfrac12}\Big|_{1}^{9} =\sqrt{9}-\sqrt{1} =3-1 =2.

Resposta

O valor da integral é 2.

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