Calcule a integral.
\int_{-1}^{1} \ln (x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} \ln(x+2)\,dx
Aqui o conteúdo é integração de função logarítmica. Vamos usar a primitiva conhecida de \ln u (por substituição) e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Para achar
\int \ln(x+2)\,dx
fazemos a mudança de variável u = x+2, de modo que du = dx. Então
\int \ln(x+2)\,dx = \int \ln u\,du = u\ln u - u + C.
Voltando a x, a primitiva é
F(x) = (x+2)\ln(x+2) - (x+2) + C.

Passo 3

Avaliaremos F(x) em x=1:
F(1) = (1+2)\ln(1+2) - (1+2) = 3\ln 3 - 3.

Passo 4

Agora em x=-1:
F(-1) = (-1+2)\ln(-1+2) - (-1+2) = 1\cdot \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1.

Passo 5

Subtraindo F(1)-F(-1) obtemos
\int_{-1}^{1} \ln(x+2)\,dx = \bigl(3\ln 3 - 3\bigr) - \bigl(-1\bigr) = 3\ln 3 - 2.

Resposta

\int_{-1}^{1} \ln(x+2)\,dx = 3\ln 3 - 2.

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