Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.
\int_{0}^{\pi / 4} 4 \operatorname{sen} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{\pi/4} 4 \sin x \cos x \,dx
usando uma substituição apropriada. O conteúdo envolvido é técnica de substituição simples em integrais trigonométricas.

Passo 2

Note que a derivada de \sin x é \cos x. Então podemos fazer a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x \,dx.

Passo 3

Com u=\sin x, temos
\sin x = u, \quad \cos x\,dx = du,
e a integral transforma-se em
I = \int_{x=0}^{x=\pi/4} 4\,\sin x\,\cos x \,dx = \int_{u=0}^{u=\frac{\sqrt2}{2}} 4\,u\,du.

Passo 4

Calcule agora a antiderivada de 4u:
\int 4u\,du = 2u^2 + C.

Passo 5

Avalie nos limites u=0 e u=\tfrac{\sqrt2}{2}:
I = \Bigl[2u^2\Bigr]_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}} = 2\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{2} - 2\cdot 0^2 = 2\cdot \tfrac12 = 1.

Resposta

1

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