Calcule a integral usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
\int_{0}^{3}\left(2 \operatorname{sen} x-e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de \,0 a \,3 da função
2\,\operatorname{sen}x - e^{x}
usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos encontrar uma primitiva F(x) cuja derivada seja 2\operatorname{sen}x - e^{x}.

Passo 2

Integramos termo a termo:
\int 2\,\operatorname{sen}x \,dx = -2\,\cos x,
\int -e^{x}\,dx = -e^{x}.
Logo, uma primitiva é
F(x) = -2\,\cos x - e^{x}.

Passo 3

Pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{3}\bigl(2\,\operatorname{sen}x - e^{x}\bigr)\,dx = F(3) - F(0).
Calculando:
F(3) = -2\,\cos 3 - e^{3},
F(0) = -2\,\cos 0 - e^{0} = -2\cdot1 - 1 = -3.
Portanto,
F(3)-F(0) = \bigl(-2\cos 3 - e^{3}\bigr) - (-3) = -2\cos 3 - e^{3} + 3.

Resposta

\int_{0}^{3}\bigl(2\,\operatorname{sen}x - e^{x}\bigr)\,dx = -2\cos 3 \;-\; e^{3} \;+\; 3.

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