Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.
\int x^{3}\left(2-x^{2}\right)^{12} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}(2 - x^{2})^{12}\,dx
utilizando uma substituição adequada. O conteúdo é técnica de integração por substituição, transformando a integral em um polinômio em u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 - x^{2}
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du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Note que x^{3}dx = x^{2}\,(x\,dx) e x^{2} = 2 - u. Então
x^{3}dx = (2 - u)\,\bigl(x\,dx\bigr) = (2 - u)\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr).

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int x^{3}(2 - x^{2})^{12}\,dx = \int (2 - u)\,u^{12}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\tfrac12 \int \bigl(2u^{12} - u^{13}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
-\tfrac12 \int \bigl(2u^{12} - u^{13}\bigr)\,du = -\tfrac12\Bigl(2\,\tfrac{u^{13}}{13} - \tfrac{u^{14}}{14}\Bigr) = -\tfrac{u^{13}}{13} + \tfrac{u^{14}}{28} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = 2 - x^{2}, a antiderivada é
-\frac{(2 - x^{2})^{13}}{13} +\frac{(2 - x^{2})^{14}}{28} + C.

Resposta

-\frac{(2 - x^{2})^{13}}{13} +\frac{(2 - x^{2})^{14}}{28} + C.

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