Simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica:
\left(\frac{x^{3}-2 x^{2}-9 x+18}{x^{2}-4 x+4}\right) \div\left(\frac{3 x^{2}-27}{x^{2}-6 x+9}\right)-\frac{x-15}{3 x-6}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar ao máximo a expressão
\frac{x^{3}-2x^{2}-9x+18}{x^{2}-4x+4} \;\div\; \frac{3x^{2}-27}{x^{2}-6x+9} \;-\;\frac{x-15}{3x-6}.
Esse tipo de tarefa envolve fatorar polinômios, transformar divisão em multiplicação de frações e, por fim, colocar tudo sobre um denominador comum para subtrair.

Passo 2

Fatoramos cada polinômio:
x^{3}-2x^{2}-9x+18=(x-2)(x^{2}-9)=(x-2)(x-3)(x+3),
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
3x^{2}-27=3(x^{2}-9)=3(x-3)(x+3),
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.

Passo 3

Transformamos a divisão em multiplicação pelo inverso da segunda fração e simplificamos fatores comuns:
\frac{(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)^{2}} \;\times\; \frac{(x-3)^{2}}{3(x-3)(x+3)} \;=\; \frac{(x-3)^{2}}{3(x-2)}.

Passo 4

A segunda parcela é
\frac{x-15}{3x-6}=\frac{x-15}{3(x-2)},
logo a expressão total fica
\frac{(x-3)^{2}}{3(x-2)}-\frac{x-15}{3(x-2)} =\frac{(x-3)^{2}-(x-15)}{3(x-2)}.

Passo 5

Calculamos o numerador:
(x-3)^{2}-(x-15)=\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)-x+15 =x^{2}-7x+24.
Portanto a forma mais simples é
\frac{x^{2}-7x+24}{3(x-2)}.

Resposta

\frac{x^{2}-7x+24}{3(x-2)},\quad x\neq2,\,3,\,-3.

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