Encontre as fórmulas para d y e \Delta y.
y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sin x e pede duas coisas: o diferencial dy e o incremento \Delta y.
Para isso vamos usar:
– A definição de diferencial de uma função f:
dy = f'(x)\,dx.
– A definição de incremento:
\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de y=\sin x:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Substituindo na fórmula do diferencial:
dy = \cos x\,dx.

Passo 3

Aplicando a definição de incremento em y=\sin x:
\Delta y = \sin\bigl(x+\Delta x\bigr) - \sin x.
Opcionalmente, usando a identidade trigonométrica
\sin A - \sin B = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{A+B}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{A-B}{2}\Bigr),
podemos escrever
\Delta y = 2\cos\!\Bigl(x + \tfrac{\Delta x}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\Delta x}{2}\Bigr).

Resposta

dy = \cos x\,dx
\Delta y = \sin(x+\Delta x) - \sin x (ou, de modo equivalente, \Delta y = 2\cos(x+\tfrac{\Delta x}{2})\,\sin(\tfrac{\Delta x}{2}))

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