Resolva as EDOS abaixo:
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=4 x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy não homogênea
x^{2}y'' - x y' + y = 4x\ln(x).
O conteúdo envolve duas etapas principais: primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada (usando a técnica de y=x^r), e depois obter uma solução particular da não homogênea (usando variação de parâmetros para equações de Euler).

Passo 2

Resolvendo a homogênea
x^{2}y'' - x y' + y = 0,
fazemos y=x^r. Então
y' = r\,x^{r-1},\quad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo,
x^2\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] \;-\; x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr]\;+\;x^r = \bigl[r(r-1)-r+1\bigr]x^r = 0.
O polinômio característico é
r(r-1)-r+1 = r^2-2r+1 = (r-1)^2 = 0,
logo temos raiz dupla r=1. A solução geral da homogênea é
y_{h} = C_{1}\,x + C_{2}\,x\ln(x).

Passo 3

Para usar variação de parâmetros, primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = R(x).
Dividindo por x^2, obtemos
y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = \frac{4\ln(x)}{x}.
Aqui
P(x)=-\frac1x, \quad Q(x)=\frac1{x^2}, \quad R(x)=\frac{4\ln(x)}{x}.
Tomamos as soluções fundamentais da homogênea
y_{1}=x,\quad y_{2}=x\ln(x),
e calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x\ln(x)\\\\ 1 & \ln(x)+1 \end{vmatrix} = x(\ln(x)+1) - x\ln(x) = x.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros para Euler reduzem-se a
u_{1}' = -\frac{R(x)\,y_{2}}{W}, \quad u_{2}' = \frac{R(x)\,y_{1}}{W}.
Substituindo R(x)=4\ln(x)/x, y_{1}=x, y_{2}=x\ln(x) e W=x, vem
u_{1}' = -\frac{4\ln(x)/x\;\cdot\;x\ln(x)}{x} = -\frac{4(\ln(x))^2}{x}, \quad u_{2}' = \frac{4\ln(x)/x\;\cdot\;x}{x} = \frac{4\ln(x)}{x}.
Integramos usando t=\ln(x), dt=dx/x:
u_{1} = -4\int \frac{(\ln(x))^2}{x}\,dx = -4\int t^2\,dt = -\tfrac{4}{3}t^3 = -\tfrac{4}{3}(\ln(x))^3,
u_{2} = 4\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = 4\int t\,dt = 2t^2 = 2(\ln(x))^2.

Passo 5

A solução particular é
y_{p} = u_{1}\,y_{1} + u_{2}\,y_{2} = \Bigl(-\tfrac{4}{3}(\ln(x))^3\Bigr)\,x \;+\; \bigl(2(\ln(x))^2\bigr)\,x\ln(x) = \frac{2}{3}\,x\,(\ln(x))^3.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é
y = y_{h} + y_{p} = C_{1}\,x + C_{2}\,x\ln(x) + \frac{2}{3}\,x\,(\ln(x))^3.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x \;+\; C_{2}\,x\ln(x) \;+\; \frac{2}{3}\,x\,(\ln(x))^3.

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