Enunciado: Determine o ponto do plano π: x-3 y+2 z=0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
Pela desigualdade triangular, para qualquer ponto X,|d(X, P)-d(X, Q)| ≤ d(P, Q). A igualdade (o valor máximo) ocorre quando X está na reta que passa por P e Q . Portanto, o ponto procurado é a interseção da reta PQ com o plano π.
P=(3,0,2), Q=(1,1,1)
  1. Reta PQ: Vetor diretor \vec{v}=Q-P=(-2,1,-1). Reta X=(3-2 t, t, 2-t).
  2. Interseção com π :
\begin{gathered} (3-2 t)-3(t)+2(2-t)=0 \\\\ 3-2 t-3 t+4-2 t=0 \Longrightarrow-7 t+7=0 \Longrightarrow t=1 \end{gathered}
  1. Ponto X: X=(3-2(1), 1,2-1)=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o ponto X do plano
\pi: x - 3y + 2z = 0
tal que \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr| seja máximo, onde P=(3,0,2) e Q=(1,1,1). Pela desigualdade triangular em \mathbb{R}^3 temos
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q),
e a igualdade ocorre exatamente quando X está na reta que passa por P e Q. Logo, precisamos achar a interseção da reta PQ com \pi.

Passo 2

Vamos parametrizar a reta PQ. O vetor diretor é
\vec v = Q - P = (1-3,\;1-0,\;1-2)=(-2,1,-1).
Tomando parâmetro t, um ponto genérico na reta é
X(t)=P + t\,\vec v = (3,0,2) + t\,(-2,1,-1) = (\,3-2t,\;t,\;2-t\,).

Passo 3

Agora impomos que X(t) satisfaça a equação do plano \pi. Substituindo
x = 3-2t,\quad y = t,\quad z = 2-t
em x - 3y + 2z = 0, obtemos
(3-2t) - 3(t) + 2(2-t) = 0
3 - 2t - 3t + 4 - 2t = 0
7 - 7t = 0
t = 1.

Passo 4

Substituindo t=1 em X(t), vem
X = \bigl(3-2\cdot1,\;1,\;2-1\bigr) = (1,1,1).
Note que este é exatamente o ponto Q, que de fato pertence ao plano \pi.

Resposta

O ponto procurado é (1,1,1).

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