Calcule as integrais usando a substituição indicada.
integral2^5(2 x-5)(x-3)^9 d x ; u=x-3 Resposta: 52233110

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral aí juntos! A questão pede para calcular a integral definida de (2x - 5)(x - 3)^9 de x = 2 até x = 5 usando a substituição u = x - 3 . Vamos usar os conceitos de cálculo integral e substituição para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição u = x - 3 . Isso significa que du = dx , já que a derivada de x - 3 em relação a x é 1. Com essa substituição, precisamos também ajustar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os novos limites quando x = 2 e x = 5 :
  • Quando x = 2 :
u = 2 - 3 = -1
  • Quando x = 5 :
u = 5 - 3 = 2
Então, agora nossa integral vai de u = -1 até u = 2 .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u :
integral2^5 (2x - 5)(x - 3)^9 dx = integral-1^2 (2(x) - 5)u^9 du
Mas precisamos expressar x em termos de u . Como u = x - 3 , então x = u + 3 . Substituindo:
2x - 5 = 2(u + 3) - 5 = 2u + 6 - 5 = 2u + 1

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral-1^2 (2u + 1)u^9 du = integral-1^2 (2u^10 + u^9) du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral (2u^10 + u^9) du = 2 integral u^10 du + integral u^9 du
= 2 cdot u^1111 + u^1010 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante C .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de u = -1 até u = 2 :
[ 2u^1111 + u^1010 ]-1^2
Calculando para u = 2 :
2(2)^1111 + (2)^1010 = 2 cdot 204811 + 102410 = 409611 + 102410
Calculando para u = -1 :
2(-1)^1111 + (-1)^1010 = 2(-1)11 + 110 = -211 + 110

Passo 8

Subtraindo os valores:
( 409611 + 102410 ) - ( -211 + 110 ) = 409611 + 102410 + 211 - 110
= 4096 + 211 + 1024 - 110 = 409811 + 102310

Passo 9

Agora, fazemos as contas:
409811 = 372
102310 = 102,3
Somando:
372 + 102,3 = 474,3
Convertendo para fração:
474,3 = 474310 = 52233110

Resposta

52233110

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