Calcule as integrais usando a substituição indicada.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral aí juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
de
até
usando a substituição
. Vamos usar os conceitos de cálculo integral e substituição para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
, já que a derivada de
em relação a
é 1. Com essa substituição, precisamos também ajustar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os novos limites quando
e
:
- Quando
:
- Quando
:
Então, agora nossa integral vai de
até
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Como
, então
. Substituindo:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
até
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Passo 9
Agora, fazemos as contas:
Somando:
Convertendo para fração: