Calcule as integrais usando a substituição indicada.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar a técnica de substituição, que é basicamente trocar uma parte da integral por uma variável mais simples, pra facilitar a resolução. Então, precisamos identificar qual parte da expressão vai ser substituída e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a substituição indicada: seja
. Isso significa que a gente vai expressar tudo em termos de
. Agora, vamos calcular o diferencial
. Derivando ambos os lados de
em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Note que o sinal negativo pode ser usado para inverter os limites de integração:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Aplicando isso aos nossos limites: