Calcule as integrais usando a substituição indicada.
integral0^3 / 4 d x1-x ; u=1-x Resposta: ln 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^3 / 4 dx1-x. A gente vai usar a técnica de substituição, que é basicamente trocar uma parte da integral por uma variável mais simples, pra facilitar a resolução. Então, precisamos identificar qual parte da expressão vai ser substituída e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição indicada: seja u = 1 - x. Isso significa que a gente vai expressar tudo em termos de u . Agora, vamos calcular o diferencial du . Derivando ambos os lados de u = 1 - x em relação a x , temos:
du = -dx Rightarrow dx = -du

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de x para u . Quando x = 0 :
u = 1 - 0 = 1
E quando x = 34 :
u = 1 - 34 = 14
Então, os novos limites são de u = 1 a u = 14 .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^3 / 4 dx1 - x = integral1^1/4 -duu = -integral1^1/4 duu
Note que o sinal negativo pode ser usado para inverter os limites de integração:
-integral1^1/4 duu = integral1/4^1 duu

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
integral duu = ln |u| + C
Aplicando isso aos nossos limites:
integral1/4^1 duu = ln|1| - ln|14| = 0 - (-ln 4) = ln 4

Resposta

ln 4

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