Calcule as integrais usando a substituição indicada.
integral0^ln 3 e^x(1+e^x)^1 / 2 d x ; u=1+e^x Resposta : 16-4 raiz23

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de e^x(1 + e^x)^1/2 no intervalo de x = 0 até x = ln 3 . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais transformando uma parte da expressão em uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos realizar a substituição indicada: u = 1 + e^x . Agora, precisamos encontrar a diferencial du em termos de dx . Derivando u em relação a x :
du = e^x dx
Isso significa que e^x dx = du . Agora, substituímos na integral original.

Passo 3

Substituindo u e du na integral, temos:
integral0^ln 3 e^x(1 + e^x)^1/2 dx = integralu(0)^u(ln 3) u^1/2 du
Vamos calcular os novos limites de integração:
  • Quando x = 0 :
u = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2
  • Quando x = ln 3 :
u = 1 + e^ln 3 = 1 + 3 = 4
Então, a integral fica:
integral2^4 u^1/2 du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^1/2 :
integral u^1/2 du = 23 u^3/2 + C
Como é uma integral definida, aplicamos os limites:
23 u^3/2 |2^4 = 23 (4)^3/2 - 23 (2)^3/2
Calculando as potências:
4^3/2 = (2^2)^3/2 = 2^3 = 8 2^3/2 = 2 raiz2
Substituindo esses valores:
23 times 8 - 23 times 2 raiz2 = 163 - 4 raiz23 = 16 - 4 raiz23

Resposta

16 - 4 raiz23

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