Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.
integral0^1 x^2(x^2+4)^5 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
integral0^1 x^2(x^2+4)^5/2,dx,
usando substituição trigonométrica. O conteúdo principal aqui é usar a substituição x=2tantheta para tratar expressões do tipo raizx^2+4 e transformar a integral em funções de theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta,
temos ainda
x^2 = 4tan^2theta, x^2+4 = 4tan^2theta + 4 = 4sec^2theta,
portanto
(x^2+4)^5/2 = l(4sec^2thetar)^5/2 = 4^5/2sec^5theta = 32sec^5theta
Os limites em theta são
theta(0)=arctan(0)=0 e
theta(1)=arctanl(tfrac12r).
Substituindo na integral, obtemos
integral0^1x^2(x^2+4)^5/2,dx =integral0^arctan(1/2) 4tan^2theta32sec^5theta,l(2sec^2theta,dthetar) =14integral0^arctan(1/2)tan^2thetasec^-3theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade
tan^2thetasec^-3theta =sin^2thetacos^2thetacdotcos^3theta =sin^2thetacostheta,
de modo que a integral vira
14integral0^arctan(1/2)sin^2thetacostheta,dtheta
Agora fazemos a substituição u=sintheta, então du=costheta,dtheta.
Quando theta=0, u=0; quando theta=arctan(1/2),
sintheta=tfrac1raiz5. Logo
14integral0^arctan(1/2)sin^2thetacostheta,dtheta =14integral0^1/raiz5u^2,du =14[u^33]0^1/raiz5 =112cdot1(raiz5)^3

Passo 4

Como (raiz5)^3=5raiz5, concluímos
112cdot15raiz5 =160raiz5 =raiz5300

Resposta

integral0^1x^2(x^2+4)^5/2,dx =160raiz5 =raiz5300

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