Exercício 4. Classifique os valores de x para os quais a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n x^nn^3

Passo 1

Beleza, a gente tem a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n,x^nn^3;
O assunto aqui é “convergência de séries de potências” e vamos usar:
  1. Teste da razão (para descobrir o raio de convergência).
  2. Teste da série alternada (Leibniz) nos pontos x=1.
  3. Teste da série p (p-série) no ponto x=-1.

Passo 2

Aplicando o teste da razão para os termos an = (-1)^n,x^n/n^3:
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|x|^,n+1(n+1)^3,n^3|x|^n = limntoinfty|x|;n^3(n+1)^3 = |x|
Pelo teste da razão:
  • Se L<1, ou seja |x|<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, ou seja |x|>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo e a gente precisa olhar os casos x=1 e x=-1 separadamente.

Passo 3

Caso x=1: a série vira
sumn=1^infty(-1)^n1^nn^3 =sumn=1^infty(-1)^n1n^3
É uma série alternada com termos bn=1/n^3 que são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a zero.
Pelo teste de Leibniz (série alternada), isso garante convergência condicional (não é absoluta, mas converge).

Passo 4

Caso x=-1: a série fica
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn^3 =sumn=1^infty1n^3
Aqui (-1)^ncdot(-1)^n = (-1)^2n=1. Então sobrou sum1/n^3, que é uma p-série com p=3>1.
P-série com p>1 converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente para |x|<1, diverge para |x|>1, em x=1 converge condicionalmente (via teste de Leibniz) e em x=-1 converge absolutamente (é uma p-série com p=3). Portanto, a convergência ocorre para
|x|<=1,
e a divergência para
|x|>1

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