Exercício 4. Classifique os valores de para os quais a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, a gente tem a série de potências
O assunto aqui é “convergência de séries de potências” e vamos usar:
Teste da razão (para descobrir o raio de convergência).
Teste da série alternada (Leibniz) nos pontos .
Teste da série (p-série) no ponto .
Passo 2
Aplicando o teste da razão para os termos :
Pelo teste da razão:
Se L<1, ou seja |x|<1, a série converge absolutamente.
Se L>1, ou seja |x|>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo e a gente precisa olhar os casos x=1 e x=-1 separadamente.
Passo 3
Caso x=1: a série vira
sumn=1^infty(-1)^n1^nn^3 =sumn=1^infty(-1)^n1n^3
É uma série alternada com termos bn=1/n^3 que são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a zero.
Pelo teste de Leibniz (série alternada), isso garante convergência condicional (não é absoluta, mas converge).
Passo 4
Caso x=-1: a série fica
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn^3 =sumn=1^infty1n^3
Aqui (-1)^ncdot(-1)^n = (-1)^2n=1. Então sobrou sum1/n^3, que é uma p-série com p=3>1.
P-série com p>1converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente para |x|<1, diverge para |x|>1, em x=1 converge condicionalmente (via teste de Leibniz) e em x=-1 converge absolutamente (é uma p-série com p=3). Portanto, a convergência ocorre para