(Stewart) Um isótopo de estrôncio, Sr , tem uma meia-vida de 25 anos.
(a) Calcule a massa de Sr que resta a partir de uma amostra de 18 mg depois de t anos.
(b) Quanto tempo levaria para a massa decair para 2 mg ?

Passo 1

O enunciado diz que um isótopo de estrôncio tem meia-vida de 25 anos. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial, que relaciona a massa restante A(t) ao tempo t e à meia-vida.

Passo 2

O modelo geral de decaimento exponencial é
A(t)=A0 e^kt,
onde A0 é a massa inicial e k é a constante de decaimento. Como a meia-vida T1/2 satisfaz
A(T1/2)=A012,
temos
A012 = A0 e^kT1/2 Longrightarrow e^kT1/2=12 Longrightarrow k=ln!l(tfrac12r)T1/2

Passo 3

Substituindo A0=18 mg e T1/2=25 anos, obtemos
k=ln!l(tfrac12r)25,
logo a massa após t anos é
A(t) =18,e^l(ln(tfrac12)/25r),t =18l(tfrac12r)^!t/25

Passo 4

Para achar em que tempo t a massa chega a 2 mg, impomos
2 = 18l(tfrac12r)^!t/25
Dividindo por 18 e aplicando logaritmo natural,
218 = l(tfrac12r)^!t/25 Longrightarrow ln!l(tfrac218r) = t25,ln!l(tfrac12r)

Passo 5

Isolando t,
t = 25;ln!l(tfrac218r)ln!l(tfrac12r)
Numericamente,
t approx 25;ln(0,1111)ln(0,5) approx 25;-2,1972-0,6931 approx 79,3 anos

Resposta

(a) A(t)=18l(tfrac12r)^!t/25 mg.
(b) Aproximadamente 79,3 anos para a massa chegar a 2 mg.

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