Questão 2 (valor: 2.5). Calcule o comprimento de arco da curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o comprimento de arco da curva
no intervalo de
até
.
Conteúdo envolvido: comprimento de arco de função no plano.
O que precisamos:
Conteúdo envolvido: comprimento de arco de função no plano.
O que precisamos:
- derivar
; - aplicar a fórmula do comprimento de arco
- resolver (ou aproximar) essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
.
- A derivada de é
.
- A derivada de (constante) é zero.
Logo
- A derivada de
- A derivada de
Logo
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, com
e
:
Passo 3
Agora temos
O detalhe chato é que essa integral não tem primitiva em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, senos etc.). Então a gente recorre a um método numérico pra chegar num valor aproximado.
Passo 4
Vamos usar a regra de Simpson (é um jeito comum de aproximar integrais). A ideia, resumindo, é:
- dividir
em subintervalos iguais (aqui escolhemos , que é par); - calcular o passo
; - aplicar a fórmula
onde
e
.
Vamos aos valores:
,
,
,
,
.
Calculemos :
Calculemos
Agora plug na fórmula de Simpson:
Resposta
O comprimento de arco da curva de
a
é aproximadamente