Questão 2 (valor: 2.5). Calcule o comprimento de arco da curva y=14 x^4+1kr^2 de x=1 a x=2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o comprimento de arco da curva
y=14x^4+1kr^2
no intervalo de x=1 até x=2.
Conteúdo envolvido: comprimento de arco de função no plano.
O que precisamos:
  1. derivar y;
  2. aplicar a fórmula do comprimento de arco
S=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2,dx;
  1. resolver (ou aproximar) essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar y.
- A derivada de tfrac14x^4 é x^3.
- A derivada de tfrac1kr^2 (constante) é zero.
Logo
y'(x)=x^3
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, com a=1 e b=2:
S=integral1^2raiz1+l(x^3r)^2,dx =integral1^2raiz1+x^6,dx

Passo 3

Agora temos
S=integral1^2raiz1+x^6,dx
O detalhe chato é que essa integral não tem primitiva em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, senos etc.). Então a gente recorre a um método numérico pra chegar num valor aproximado.

Passo 4

Vamos usar a regra de Simpson (é um jeito comum de aproximar integrais). A ideia, resumindo, é:
  1. dividir [1,2] em n subintervalos iguais (aqui escolhemos n=4, que é par);
  2. calcular o passo h=(2-1)/4=0.25;
  3. aplicar a fórmula
integral1^2f(x),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+f(x4)r],
onde xi=1+i,h e f(x)=raiz1+x^6.
Vamos aos valores:
x0=1.00, x1=1.25, x2=1.50, x3=1.75, x4=2.00.
Calculemos f(xi):
f(x0)&=raiz1+1^6=raiz2approx1.414, f(x1)&=raiz1+1.25^6approx2.195, f(x2)&=raiz1+1.5^6approx3.520, f(x3)&=raiz1+1.75^6approx5.455, f(x4)&=raiz1+2^6=raiz65approx8.062
Agora plug na fórmula de Simpson:
Sapprox 0.253l[ 1.414 + 4(2.195) + 2(3.520) + 4(5.455) + 8.062 r] approx 3.93

Resposta

O comprimento de arco da curva de x=1 a x=2 é aproximadamente
boxedSapprox3.93 unidades

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