Exercício 1. Teste a convergência ou a divergência das séries.
sumn=1^infty n!2 cdots 5 cdot 8 cdots(3 n+2)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer testar se a série
sumn=1^inftyn!2cdot5cdot8cdots(3n+2)
converge ou diverge.
Conteúdo: séries numéricas e, mais especificamente, o Critério da Razão.
O que vamos precisar:
  • escrever o termo geral an;
  • lembrar o enunciado do Critério da Razão;
  • calcular o limite limntoinftyan+1an.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o termo geral:
an=n!2cdot5cdot8cdots(3n+2)
Como todos os an são positivos, podemos usar o Critério da Razão, que diz:
se
L=limntoinftyl|an+1anr|
existe e
  • L<1 ⇒ a série converge absolutamente;
  • L>1 ⇒ a série diverge;
  • L=1 ⇒ o teste não decide.

Passo 3

Vamos calcular o quociente
an+1an =tfrac(n+1)!2cdot5cdot8cdots(3n+2),(3(n+1)+2)% tfracn!2cdot5cdot8cdots(3n+2) =(n+1)!n!;2cdot5cdot8cdots(3n+2)2cdot5cdot8cdots(3n+2),(3n+5) =n+13n+5

Passo 4

Agora, o limite desse quociente:
L=limntoinftyn+13n+5 =limntoinfty1+tfrac1n3+tfrac5n =13<1
Como L<1, pelo Critério da Razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

Exercícios relacionados