Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.
integral 1[(a x)^2-b^2]^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral 1l[(a x)^2-b^2r]^3/2,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é uma integral de função racional com raiz do tipo (ax)^2 - b^2, e vamos precisar da substituição a x=bsectheta.

Passo 2

Fazendo
a x = bsectheta, dx = basecthetatantheta,dtheta,
temos
(ax)^2 - b^2 = b^2(sec^2theta - 1)=b^2tan^2theta
e
l[(ax)^2 - b^2r]^3/2 = (b^2tan^2theta)^3/2 = b^3tan^3theta
Logo a integral vira
integral 1b^3tan^3theta,basecthetatantheta,dtheta = 1a b^2integral secthetatan^2theta,dtheta = 1a b^2integral costhetasin^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar
integral costhetasin^2theta,dtheta,
faça u=sintheta, du=costheta,dtheta. Então
integral costhetasin^2theta,dtheta = integral 1u^2,du = -1u+C = -1sintheta+C
Multiplicando pelo fator tfrac1a b^2
-1a b^2sintheta+C

Passo 4

Volta à variável x: de a x=bsectheta vem
sintheta =raizsec^2theta-1sectheta =raiza^2x^2b^2-1axb =raiza^2x^2-b^2a x
Assim
-1a b^2sintheta = -1a b^2,a xraiza^2x^2-b^2 = -xb^2raiza^2x^2-b^2

Resposta

integral 1l[(a x)^2-b^2r]^3/2,dx = -xb^2raiza^2x^2-b^2 + C

Exercícios relacionados