^ a Questão. ( 3,5 pts ) Calcule o limite, se existir.
lim x 0 raiz1+2 x-raiz1-2 xx

Passo 1

Beleza, temos que calcular o limite
limx to 0 raiz1+2x - raiz1-2xx
Isso é um problema de limite de função com radicais. O que vamos precisar?
  • Propriedades básicas de limites (somar, multiplicar, etc.).
  • Técnica de racionalização de expressões com raiz (multiplicar pelo conjugado).
  • Saber que funções raiz quadrada são contínuas, então podemos avaliar o limite depois de simplificar.

Passo 2

Para “destravar” a raiz no numerador, a gente vai multiplicar e dividir pela expressão conjugada, que é raiz1+2x + raiz1-2x. Assim usamos a identidade
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
Então começamos:
raiz1+2x - raiz1-2xx ;times; raiz1+2x + raiz1-2xraiz1+2x + raiz1-2x = (raiz1+2x)^2 - (raiz1-2x)^2x,l(raiz1+2x+raiz1-2xr)

Passo 3

Agora simplifica o numerador usando (raizA)^2 = A:
(raiz1+2x)^2 - (raiz1-2x)^2 = (1+2x) - (1-2x) = 1+2x -1 +2x =4x
Então a fração vira
4xxl(raiz1+2x+raiz1-2xr) =4;cancelxcancelx,l(raiz1+2x+raiz1-2xr) =4raiz1+2x+raiz1-2x
Agora que não temos mais a forma “0/0”, podemos aplicar a continuidade das raízes e simplesmente substituir x=0:
limxto 04raiz1+2x+raiz1-2x =4raiz1+0+raiz1-0 =41+1 =42 =2

Resposta

2

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