Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxl(x^2+2r)^3
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de funções da forma integral (x^2+a^2)^-ndx. Vamos usar a substituição
x = raiz2,tantheta,
que transforma x^2+2 em termo de sectheta.

Passo 2

Com x = raiz2,tantheta temos
dx = raiz2,sec^2theta,dtheta,
e
x^2+2 = 2tan^2theta + 2 = 2sec^2theta
Substituindo na integral original:
integral dxl(x^2+2r)^3 = integral raiz2,sec^2theta,dthetal(2sec^2thetar)^3 = integral raiz2,sec^2theta8,sec^6theta,dtheta = raiz28integral cos^4theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral cos^4theta,dtheta, usamos a fórmula de redução:
cos^4theta = 18l(3 + 4cos 2theta + cos 4thetar)
Logo,
integral cos^4theta,dtheta = 18integral l(3 + 4cos 2theta + cos 4thetar)dtheta = 3theta8 + sin 2theta4 + sin 4theta32 + C

Passo 4

Voltando à constante fora da integral,
raiz28integral cos^4theta,dtheta = raiz28l(3theta8 + sin 2theta4 + sin 4theta32r)+C = 3raiz264,theta + raiz2,sin 2theta32 + raiz2,sin 4theta256 + C

Passo 5

Agora expressamos theta, sin 2theta e sin 4theta em função de x. Da definição x=raiz2tantheta vem
theta = arctan!l(tfracxraiz2r), sintheta = xraizx^2+2, costheta = raiz2raizx^2+2
Então
sin 2theta = 2sinthetacostheta = 2raiz2,xx^2+2,
sin 4theta = 2sin 2thetacos 2theta = 4raiz2,x,(2 - x^2)(x^2+2)^2

Passo 6

Substituindo esses em cada termo:
raiz2,sin 2theta32 = raiz2cdot2raiz2,x32,(x^2+2) = x8,(x^2+2),
raiz2,sin 4theta256 = raiz2cdot4raiz2,x,(2 - x^2)256,(x^2+2)^2 = x,(2 - x^2)32,(x^2+2)^2
Somando os termos racionais com denominador (x^2+2)^2:
x8,(x^2+2) + x,(2 - x^2)32,(x^2+2)^2 = x(3x^2+10)32,(x^2+2)^2

Resposta

boxed integral dxl(x^2+2r)^3 = x,(3x^2+10)32,(x^2+2)^2 + 3raiz264,arctan!l(tfracxraiz2r) + C

Exercícios relacionados