Calcule o volume do sólido limitado por z=2 x^2+y^2 e z=4-2 x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = 2x^2 + y^2
e
z = 4 - 2x^2 - y^2
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla, usando a fórmula
V = integral duplaD l(zsuperior - zinferiorr),dA,
onde D é a projeção do sólido no plano xy.

Passo 2

Para determinar D, igualamos as duas superfícies:
2x^2 + y^2 = 4 - 2x^2 - y^2
4x^2 + 2y^2 = 4
x^2 + y^22 = 1
Logo, D é a região elíptica
D = l(x,y)mid x^2 + tfracy^22<=1r

Passo 3

O volume vale
V = integral duplaDl[(4 - 2x^2 - y^2) - (2x^2 + y^2)r],dA = integral duplaDl(4 - 4x^2 - 2y^2r),dA

Passo 4

Para eliminar a elipse, fazemos a mudança
x = rcostheta, y = raiz2,rsintheta, 0<= r<=1,; 0<=theta<=2pi
O jacobiano é
l|Jr| = raiz2,r
Note que na nova variável vale
x^2 + tfracy^22 = r^2,
e por isso
4 - 4x^2 - 2y^2 = 4 - 4l(x^2 + tfracy^22r) = 4(1 - r^2)

Passo 5

Substituindo na integral e separando as variáveis:
V = integral0^2pi!integral0^14(1 - r^2),l(raiz2,rr),dr,dtheta =4raiz2,integral0^2pidthetaintegral0^1l(r - r^3r)dr
Calculando a integral em r:
integral0^1(r - r^3)dr = l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = 12 - 14 = 14
Então
V = 4raiz2,l(2pir),14 = 2piraiz2

Resposta

V = 2piraiz2

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