Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.
(\mathrm{g})^{*} integral0^ln (raiz3) e^t(1+e^2 t)^3 / 2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^ln(raiz3)e^tl(1+e^2tr)^3/2,dt
usando substituição trigonométrica. Primeiro vamos ver que, ao definir u=e^t, o integrando se simplifica para uma forma do tipo integral (1+u^2)^-3/2du, e aí aplicamos a substituição u=tantheta.

Passo 2

Fazendo u=e^t temos du=e^tdt, e os limites mudam assim:
t=0implies u=1, t=ln(raiz3)implies u=raiz3
Portanto
integral0^ln(raiz3)e^t(1+e^2t)^3/2,dt =integral1^raiz31(1+u^2)^3/2,du

Passo 3

Para integral1^raiz3(1+u^2)^-3/2du fazemos a substituição trigonométrica
u=tantheta, du=sec^2theta,dtheta, 1+u^2=sec^2theta
Então
(1+u^2)^3/2=(sec^2theta)^3/2=sec^3theta,
e o integrando vira
du(1+u^2)^3/2 =sec^2theta,dthetasec^3theta =costheta,dtheta

Passo 4

Integramos em theta:
integralcostheta,dtheta=sintheta + C
Como u=tantheta, num triângulo retângulo sintheta=uraiz1+u^2. Logo a primitiva em u é
F(u)=uraiz1+u^2

Passo 5

Voltando a t, temos
F(t)=e^traiz1+e^2t
Agora avaliamos de t=0 a t=ln(raiz3):
Fl(ln(raiz3)r) =raiz3raiz1+3 =raiz32, F(0)=1raiz2=raiz22
Subtraindo,
raiz32-raiz22 =raiz3-raiz22

Resposta

raiz3-raiz22

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