Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralraiz2^2dtt^3raizt^2-1
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral com raizt^2-1 sugere a mudança de variável
t=sectheta, pois sec^2theta-1=tan^2theta.

Passo 2

Fazendo t=sectheta, então dt=secthetatantheta,dtheta e
raizt^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta
Precisamos também trocar os limites:
quando t=raiz2, sectheta=raiz2 theta=pi/4;
quando t=2, sectheta=2 theta=pi/3.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integralraiz2^2dtt^3raizt^2-1 =integraltheta=pi/4^pi/3 secthetatantheta,dthetasec^3theta;tantheta =integralpi/4^pi/3dthetasec^2theta =integralpi/4^pi/3cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta usamos a identidade
cos^2theta=(1+cos2theta)/2. Logo,
integralcos^2theta,dtheta =integral1+cos2theta2,dtheta =theta2+sin2theta4+C
Aplicando de pi/4 a pi/3, obtemos
gl[theta2+sin2theta4gr]pi/4^pi/3 =l(pi/32+sin(2pi/3)4r) -l(pi/42+sin(pi/2)4r)

Passo 5

Calculando cada termo:
sin(2pi/3)=raiz3/2 e sin(pi/2)=1, então
pi/32+raiz3/24 =pi6+raiz38, pi/42+14 =pi8+14
A diferença fica
l(pi6-pi8r) +l(raiz38-14r) =pi24+raiz3-28 =pi+3raiz3-624

Resposta

integralraiz2^2dtt^3raizt^2-1 =pi+3raiz3-624

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