Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a convergência da integral imprópria
e, se ela convergir, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é análise de convergência em pontos de singularidade (aqui em
) e avaliação da integral por substituição.
Passo 2
Verificamos possíveis problemas em
e em
:
- Em
, o integrando se comporta como , então é finito e integrável perto de zero. - Em
, escrevemos
quando
. Assim
e
converge (exponente
). Logo a integral é convergente.
Passo 3
Para calcular a integral, fazemos a substituição
Os limites vão de
até
, então
Resposta
A integral é convergente e vale
.