Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
integral0^1 4 traiz1-t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a convergência da integral imprópria
integral0^14,traiz1-t^4,dt
e, se ela convergir, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é análise de convergência em pontos de singularidade (aqui em t=1) e avaliação da integral por substituição.

Passo 2

Verificamos possíveis problemas em t=0 e em t=1:
  • Em t=0, o integrando se comporta como tfrac4traiz1=4t, então é finito e integrável perto de zero.
  • Em t=1, escrevemos
1 - t^4 = (1-t)(1+t)(1+t^2) approx 4(1-t)
quando tto1^-. Assim
4,traiz1-t^4sim 4raiz4(1-t)=2raiz1-t,
e integral^1!dtraiz1-t converge (exponente 1/2<1). Logo a integral é convergente.

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos a substituição
u=t^2, du=2t,dt Longrightarrow 4t,dt=2,du
Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1, então
integral0^14,traiz1-t^4,dt =2integral0^1duraiz1-u^2 =2l[arcsin(u)r]0^1 =2cdotpi2 =pi

Resposta

A integral é convergente e vale pi.

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