Calcule a integral I=integral duplaR(x-3 y^2) d x d y sendo R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 2 e 1 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaR (x - 3y^2), dx, dy
sobre o retângulo
R = (x,y)in R^2 mid 0<= x<= 2,;1<= y<= 2
O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini para converter em integrais iteradas

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini, escrevemos
I = integral0^2integral1^2(x - 3y^2),dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral1^2(x - 3y^2),dy = xintegral1^2dy ;-;3integral1^2y^2,dy = x(2-1);-;3l[tfracy^33r]1^2 = x - (8-1) = x - 7

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^2(x - 7),dx = l[tfracx^22-7xr]0^2 = (2-14) = -12

Resposta

I = -12

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