Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.
integral t^4t^2+2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral t^4t^2+2,dt
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integrar uma função racional transformando t^2+2 numa forma com identidades trigonométricas, e vamos usar a substituição
t = raiz2,tantheta,
pois assim t^2+2=2tan^2theta+2=2sec^2theta.

Passo 2

Fazendo t=raiz2tantheta obtemos
dt=raiz2sec^2theta,dtheta, t^4=(raiz2tantheta)^4=4tan^4theta, t^2+2=2sec^2theta
Logo o integrando vira
t^4t^2+2,dt =4tan^4theta2sec^2theta,l(raiz2sec^2theta,dthetar) =2raiz2,tan^4theta,dtheta

Passo 3

Agora escrevemos
tan^4theta=(sec^2theta-1)^2=sec^4theta-2sec^2theta+1,
de modo que a integral fica
2raiz2integraltan^4theta,dtheta =2raiz2integrall(sec^4theta-2sec^2theta+1r),dtheta

Passo 4

Calculamos termo a termo:
  1. integralsec^2theta,dtheta=tantheta
  2. Para integralsec^4theta,dtheta usamos
sec^4theta=sec^2theta(1+tan^2theta)
e, com u=tantheta, du=sec^2theta,dtheta,
integralsec^4theta,dtheta =integralsec^2theta,dtheta+integraltan^2thetasec^2theta,dtheta =tantheta+tan^3theta3
Portanto
integrall(sec^4theta-2sec^2theta+1r),dtheta =l(tantheta+tan^3theta3r)-2tantheta+theta =tan^3theta3-tantheta+theta
Multiplicando por 2raiz2
2raiz2l(tan^3theta3-tantheta+thetar)+C

Passo 5

Voltando a t:
tantheta=dfractraiz2 e theta=arctan!l(tfractraiz2r).
Então
tan^3theta3 =13l(traiz2r)^3 =t^36raiz2, tantheta=traiz2,
e a antiderivada torna-se
2raiz2l(t^36raiz2-traiz2+arctan!l(tfractraiz2r)r) =t^33-2t+2raiz2,arctan!l(tfractraiz2r)+C

Resposta

boxedintegral t^4t^2+2,dt =t^33-2t+2raiz2,arctan!l(traiz2r)+C

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