Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.
(\mathrm{j})^{*} integral0^3 / 5 x^2raiz9-25 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^3/5x^2raiz9-25x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos identificar que aparece uma raiz do tipo raiza^2-x^2 com a=3 e coeficiente 25x^2, de modo que adotamos uma substituição com seno.

Passo 2

Fazemos a troca
x = 35sintheta,
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dx = 35costheta,dtheta, raiz9-25x^2 = raiz9-25l(35sinthetar)^2 =3costheta
Quando x=0 temos theta=0 e quando x=tfrac35 temos sintheta=1, isto é theta=tfracpi2.

Passo 3

Substituindo na integral,
integral0^3/5x^2raiz9-25x^2,dx =integral0^pi/2l(35sinthetar)^23costheta cdot35costheta,dtheta =9125integral0^pi/2sin^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade
sin^2theta=1-cos2theta2
para obter
9125integral0^pi/2sin^2theta,dtheta =9125integral0^pi/21-cos2theta2,dtheta =9250l[theta-tfracsin2theta2r]0^pi/2
Calculando em theta=pi/2 e theta=0, nota-se que sin(pi)=0 e sin0=0, restando
9250l(pi2-0r) =9pi500

Resposta

9pi500

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