Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica.
  • integral0^2 / 3 raiz4-9 x^2x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2/3raiz4-9x^2x^4,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é a substituição em integrais que contenham termos do tipo raiza^2-b^2x^2 e o tratamento de integral imprópria no ponto x=0.

Passo 2

Fazemos a substituição padrão para raiz4-9x^2. Note que
4-9x^2=4l(1-(tfrac3x2)^2r),
então definimos
x=23sintheta, thetainl[0,tfracpi2r]
Daí
dx=23costheta,dtheta e raiz4-9x^2=2costheta

Passo 3

Substituindo na integrand e nos limites: quando x=0 vale theta=0, e quando x=2/3 vale theta=pi/2. Temos
x^4=l(tfrac23sinthetar)^4=1681sin^4theta,
então a integral vira
integral0^2/3raiz4-9x^2x^4,dx =integral0^pi/2 2costhetatfrac1681sin^4theta,23costheta,dtheta =274integral0^pi/2l(csc^4theta-csc^2thetar),dtheta

Passo 4

Para integrar
integral(csc^4theta-csc^2theta),dtheta, usamos
integral csc^2theta,dtheta=-cottheta, integral csc^4theta,dtheta =integral csc^2theta(1+cot^2theta),dtheta
Fazendo u=cottheta, du=-csc^2theta,dtheta, obtemos
integral csc^4theta,dtheta =-integral (1+u^2),du =-(u+tfracu^33) =-cottheta-tfraccot^3theta3
Logo o antiderivado de csc^4theta-csc^2theta é
-cottheta-tfraccot^3theta3 ;-;(-cottheta) =-tfraccot^3theta3
Multiplicando pelo fator tfrac274
F(theta)=-94,cot^3theta

Passo 5

Trata-se de integral imprópria em theta=0. Avaliando
Fl(tfracpi2r)=0, limthetato0^+F(theta) =-94limthetato0^+cot^3theta =-infty
Assim
integral0^pi/2cdots,dtheta =Fl(tfracpi2r)-limthetato0^+F(theta) =0-(-infty)=+infty
Portanto a integral diverge para +infty.

Resposta

A integral é divergente (infinita).

Exercícios relacionados