^ a Questão. ( 3,5 pts ) Calcule o limite, se existir.
lim x 3^- 3 x-x^2x^2-6 x+9

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 3^- 3x - x^2x^2 - 6x + 9
Isso é um exercício de Cálculo de Limites. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Verificar se a substituição direta dá alguma forma indeterminada (como 0/0).
  2. Usar fatoração para simplificar a expressão.
  3. Analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta x = 3:
  • Numerador: 3·3 – 3² = 9 – 9 = 0
  • Denominador: 3² – 6·3 + 9 = 9 – 18 + 9 = 0
    A gente ficou com 0/0, que é uma indeterminação. Sempre que isso acontece, uma boa saída é fazer fatoração no numerador e no denominador para ver se algum fator se cancela.

Passo 3

Vamos fatorar as duas partes:
  • Numerador:
3x - x^2 = x(3 - x) = -,x,(x - 3)
  • Denominador:
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
Então a nossa fração vira, para x neq 3,
3x - x^2x^2 - 6x + 9 = -,x,(x - 3)(x - 3)^2 = -,x,x - 3,

Passo 4

Agora, em vez de 0/0, temos
-xx - 3 e queremos limx to 3^--xx - 3
Quando x to 3^-, significa que x = 3 - h com h > 0 e h to 0.
  • O numerador -x fica aproximadamente -3.
  • O denominador x - 3 = (3 - h) - 3 = -h é um número negativo que vai a 0.
    Logo
-xx - 3 ;approx; -3-h ;=; 3h ;longrightarrow; +infty quando hto0^+
Isso mostra que a função cresce sem limite por valores de x que vêm da esquerda de 3.

Resposta

boxed+infty

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