Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos a derivada de uma função
dada por
O que nos pedem (implícito): encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação diferencial (ou seja, encontrar uma primitiva de
). Informações relevantes do enunciado:
está definida sempre que
, portanto devemos ter
para inteiros
. Não há condição inicial, então teremos uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Transformar a equação para integrar: lembrar que
. Podemos escrever
e então separar as variáveis (aqui trivial) e integrar ambos os lados em relação a
:
Explicação didática: integrar
dá a própria função
(mais uma constante), porque a integral de uma derivada é a primitiva da função. Para a integral do lado direito, podemos tirar a constante
para fora da integral:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Calcular
. Lembre que
. Então
Fazer a substituição
. Então
. Com isso a integral vira
Explicação didática: a integral de
é
. O valor absoluto aparece porque
só é definido para
, mas a primitiva de
é
para cobrir
também. Portanto concluímos
Passo 4
Voltar para a expressão de
: substituindo na expressão do Passo 2 obtemos
onde aqui absorvemos
na constante geral
. Explicação sobre a constante: qualquer constante adicionada à primitiva pode ser escrita como uma única constante
porque somas de constantes continuam sendo uma constante. Observação sobre domínio: esta solução só faz sentido onde
, isto é, para
.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução encontrada devemos obter a equação original. Calcule
pois a derivada de
é
. Esta igualdade confirma que a solução está correta. Exemplo adicional (opcional): se tivéssemos a condição
, resolveríamos
, logo
e a solução particular seria
.