y^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \cot x

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos a derivada de uma função y dada por
y'=\frac{1}{2}\cdot\cot x.
O que nos pedem (implícito): encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação diferencial (ou seja, encontrar uma primitiva de \frac{1}{2}\cot x). Informações relevantes do enunciado: \cot x está definida sempre que \sin x\neq 0, portanto devemos ter x\neq k\pi para inteiros k. Não há condição inicial, então teremos uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Transformar a equação para integrar: lembrar que y'=\dfrac{dy}{dx}. Podemos escrever
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cot x
e então separar as variáveis (aqui trivial) e integrar ambos os lados em relação a x:
\int \,dy=\int \frac{1}{2}\cot x\,dx.
Explicação didática: integrar dy dá a própria função y (mais uma constante), porque a integral de uma derivada é a primitiva da função. Para a integral do lado direito, podemos tirar a constante \frac{1}{2} para fora da integral:
y=\frac{1}{2}\int \cot x\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int \cot x\,dx. Lembre que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Então
\int \cot x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx.
Fazer a substituição u=\sin x. Então du=\cos x\,dx. Com isso a integral vira
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C_1=\ln|\sin x|+C_1.
Explicação didática: a integral de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. O valor absoluto aparece porque \ln u só é definido para u>0, mas a primitiva de 1/u é \ln|u| para cobrir u<0 também. Portanto concluímos
\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C_1.

Passo 4

Voltar para a expressão de y: substituindo na expressão do Passo 2 obtemos
y=\frac{1}{2}\ln|\sin x|+C,
onde aqui absorvemos C_1 na constante geral C. Explicação sobre a constante: qualquer constante adicionada à primitiva pode ser escrita como uma única constante C porque somas de constantes continuam sendo uma constante. Observação sobre domínio: esta solução só faz sentido onde \sin x\neq 0, isto é, para x\neq k\pi.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução encontrada devemos obter a equação original. Calcule
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\ln|\sin x|+C\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{1}{2}\cot x,
pois a derivada de \ln|u| é u'/u. Esta igualdade confirma que a solução está correta. Exemplo adicional (opcional): se tivéssemos a condição y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, resolveríamos 0=\frac{1}{2}\ln|\sin(\pi/2)|+C=\frac{1}{2}\ln 1+C, logo C=0 e a solução particular seria y=\frac{1}{2}\ln|\sin x|.

Resposta

y=\dfrac{1}{2}\ln|\sin x|+C

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