Calcule as integrais usando a técnica de integração adequada:
\int \frac{1}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx. O conteúdo é integração de função racional e a técnica adequada aqui é decomposição em frações parciais.

Passo 2

Queremos escrever
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
onde x\neq\pm1.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1) obtemos
1 = A(x+1) + B(x-1).
Escolhendo valores especiais:
  • Para x=1: 1 = A\cdot 2, logo A=\tfrac12.
  • Para x=-1: 1 = B\cdot(-2), logo B=-\tfrac12.

Passo 4

Substituindo A e B de volta,
\frac{1}{x^{2}-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1},
logo
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \frac12 \int \frac{1}{x-1}\,dx \;-\;\frac12 \int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 5

Integrando cada termo:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr|, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.
Portanto,
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \frac12\ln\bigl|x-1\bigr| - \frac12\ln\bigl|x+1\bigr| + C.
Para simplificar:
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \frac12 \ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \frac12 \ln\bigl|x-1\bigr| - \frac12 \ln\bigl|x+1\bigr| + C = \frac12 \ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C.}

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