Use o método da, bissecção, posição falsa e o método do ponto fixo para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor ou igual a 10^{-2}.
Observação: Depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela com cada método e com o resultado de cada iteração dos três métodos, onde para cada função você deve usar os critérios de parada \left|f\left(x_{i}\right)\right|<10^{-2} e \left|x_{i+1}-x_{i}\right|<10^{-2}, observando a convergência e em qual critério de parada a convergência ocorre de maneira mais rápida.
f(x)=x^{3}+\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz positiva de
f(x)=x^{3}+\ln(x)
usando três métodos: bissecção, posição falsa e ponto fixo, com critérios de parada \lvert f(x_i)\rvert<10^{-2} e \lvert x_{i+1}-x_i\rvert<10^{-2}. Vamos estudar cada método, iterar até satisfazer cada critério e montar tabelas de iterações.

Passo 2

Método da bissecção
  1. Escolhemos um intervalo inicial [a,b] em que f(a)\cdot f(b)<0. Como
f(0,5)=0,5^{3}+\ln(0,5)=0,125-0,6931\approx-0,5681<0,
f(1)=1+\ln(1)=1>0,
tomamos a_{0}=0{,}5, b_{0}=1.
2. A cada iteração i calculamos x_{i}=(a_{i-1}+b_{i-1})/2, avaliamos f(x_i) e atualizamos o intervalo pelo sinal de f.
3. Paramos quando \lvert f(x_i)\rvert<10^{-2} ou \lvert x_i-x_{i-1}\rvert<10^{-2}.

Passo 3

Tabela de iterações – bissecção
Método da bissecção
i a b x_i f(x_i) \lvert x_i-x_{i-1}\rvert
1 0,5000 1,0000 0,7500 0,1343
2 0,5000 0,7500 0,6250 −0,2260 0,1250
3 0,6250 0,7500 0,6875 −0,0509 0,0625
4 0,6875 0,7500 0,7188 0,0410 0,0313
5 0,6875 0,7188 0,7031 −0,0042 0,0156
6 0,7031 0,7188 0,7109 0,0182 0,0078
7 0,7031 0,7109 0,7070 0,0070 0,0039
  • Critério \lvert f(x_i)\rvert<10^{-2} ocorre em i=5 \lvert f(0,7031)\rvert\approx0,0042<0,01.
  • Critério \lvert x_i-x_{i-1}\rvert<10^{-2} ocorre em i=6 0,0078<0,01.

Passo 4

Método da posição falsa
  1. Mantemos [a,b]=[0,5,1] com f(a)<0<f(b).
  2. A cada iteração definimos
x_i = b_{i-1} - f(b_{i-1})\frac{b_{i-1}-a_{i-1}}{f(b_{i-1})-f(a_{i-1})},
avaliamos f(x_i) e substituímos a ou b conforme o sinal.
3. Paramos com os mesmos critérios de erro.
Tabela de iterações – posição falsa
i a b x_i f(x_i) \lvert x_i-x_{i-1}\rvert
1 0,5000 1,0000 0,6810 −0,0690
2 0,6810 1,0000 0,7014 −0,0099 0,0204
3 0,7014 1,0000 0,7045 −0,0006 0,0031
  • \lvert f(x_2)\rvert<10^{-2} já em i=2, mas \lvert x_2-x_1\rvert>10^{-2}.
  • Ambos os critérios são satisfeitos em i=3.

Passo 5

Método do ponto fixo
  1. Reescrevemos x^{3}+\ln(x)=0 como
x = g(x) = \bigl(-\ln(x)\bigr)^{1/3}.
  1. Escolhemos chute inicial x_{0}=0,7.
  2. Iteramos x_{i+1}=g(x_i) até \lvert f(x_i)\rvert<10^{-2} ou \lvert x_{i+1}-x_i\rvert<10^{-2}.
Tabela de iterações – ponto fixo
i x_i f(x_i) \lvert x_i-x_{i-1}\rvert
0 0,7000 −0,0432
1 0,7093 0,0126 0,0093
2 0,7012 −0,0096 0,0081
  • \lvert x_1-x_0\rvert<10^{-2} já em i=1,
  • \lvert f(x_2)\rvert<10^{-2} em i=2,
  • logo ambos os critérios satisfeitos em i=2.

Passo 6

Comparação da convergência:
  • Bissecção: 5 iterações para \lvert f\rvert, 6 para \lvert\Delta x\rvert.
  • Posição falsa: 3 iterações para ambos.
  • Ponto fixo: 2 iterações para ambos.
O método do ponto fixo convergiu mais rápido, seguido da posição falsa e por fim da bissecção.

Resposta

Segue o resumo das iterações e o número de passos até cada critério:
Método da bissecção
i x_i f(x_i) \lvert x_i-x_{i-1}\rvert
5 0,7031 0,0042
6 0,7109 0,0182 0,0078
Método da posição falsa
i x_i f(x_i) \lvert x_i-x_{i-1}\rvert
3 0,7045 0,0006 0,0031
Método do ponto fixo
i x_i f(x_i) \lvert x_i-x_{i-1}\rvert
2 0,7012 0,0096 0,0081
Conclusão: o método do ponto fixo foi o mais eficiente (2 iterações), depois a posição falsa (3) e, por fim, a bissecção (5–6).

Exercícios relacionados