Use o método da, bissecção, posição falsa e o método do ponto fixo para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor ou igual a
.
Observação: Depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela com cada método e com o resultado de cada iteração dos três métodos, onde para cada função você deve usar os critérios de parada
e
, observando a convergência e em qual critério de parada a convergência ocorre de maneira mais rápida.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a raiz positiva de
usando três métodos: bissecção, posição falsa e ponto fixo, com critérios de parada
e
. Vamos estudar cada método, iterar até satisfazer cada critério e montar tabelas de iterações.
Passo 2
Método da bissecção
- Escolhemos um intervalo inicial
em que . Como
tomamos
,
.
2. A cada iteração calculamos
, avaliamos
e atualizamos o intervalo pelo sinal de
.
3. Paramos quando ou
.
2. A cada iteração
3. Paramos quando
Passo 3
Tabela de iterações – bissecção
Método da bissecção
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---|---|---|---|---|---|
1 | 0,5000 | 1,0000 | 0,7500 | 0,1343 | – |
2 | 0,5000 | 0,7500 | 0,6250 | −0,2260 | 0,1250 |
3 | 0,6250 | 0,7500 | 0,6875 | −0,0509 | 0,0625 |
4 | 0,6875 | 0,7500 | 0,7188 | 0,0410 | 0,0313 |
5 | 0,6875 | 0,7188 | 0,7031 | −0,0042 | 0,0156 |
6 | 0,7031 | 0,7188 | 0,7109 | 0,0182 | 0,0078 |
7 | 0,7031 | 0,7109 | 0,7070 | 0,0070 | 0,0039 |
- Critério
ocorre em . - Critério
ocorre em .
Passo 4
Método da posição falsa
- Mantemos
com . - A cada iteração definimos
avaliamos
e substituímos
ou
conforme o sinal.
3. Paramos com os mesmos critérios de erro.
3. Paramos com os mesmos critérios de erro.
Tabela de iterações – posição falsa
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---|---|---|---|---|---|
1 | 0,5000 | 1,0000 | 0,6810 | −0,0690 | – |
2 | 0,6810 | 1,0000 | 0,7014 | −0,0099 | 0,0204 |
3 | 0,7014 | 1,0000 | 0,7045 | −0,0006 | 0,0031 |
-
já em , mas . - Ambos os critérios são satisfeitos em
.
Passo 5
Método do ponto fixo
- Reescrevemos
como
- Escolhemos chute inicial
. - Iteramos
até ou .
Tabela de iterações – ponto fixo
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---|---|---|---|
0 | 0,7000 | −0,0432 | – |
1 | 0,7093 | 0,0126 | 0,0093 |
2 | 0,7012 | −0,0096 | 0,0081 |
-
já em , -
em , - logo ambos os critérios satisfeitos em
.
Passo 6
Comparação da convergência:
- Bissecção: 5 iterações para
, 6 para . - Posição falsa: 3 iterações para ambos.
- Ponto fixo: 2 iterações para ambos.
O método do ponto fixo convergiu mais rápido, seguido da posição falsa e por fim da bissecção.
Resposta
Segue o resumo das iterações e o número de passos até cada critério:
Método da bissecção
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---|---|---|---|
5 | 0,7031 | 0,0042 | – |
6 | 0,7109 | 0,0182 | 0,0078 |
Método da posição falsa
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---|---|---|---|
3 | 0,7045 | 0,0006 | 0,0031 |
Método do ponto fixo
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|
|
|
---|---|---|---|
2 | 0,7012 | 0,0096 | 0,0081 |
Conclusão: o método do ponto fixo foi o mais eficiente (2 iterações), depois a posição falsa (3) e, por fim, a bissecção (5–6).