Questão 2: (2,5 pontos) Utilize as coordenadas cilíndricas para calcular
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido no primeiro octante limitado por
e pelo plano
.
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas. Vamos usar
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas. Vamos usar
Passo 2
Determinar os limites em coordenadas cilíndricas. No primeiro octante:
Para cada
,
vai de
até o paraboloide:
E em projeção no plano
,
vai de
até onde
, ou seja
Passo 3
Expressar o integrando em cilíndricas:
Multiplicando pelo jacobiano
, o integrando se torna
Logo
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
E
Então
Passo 5
Agora integrar em
e
:
Calcule
Então