Questão 2: (2,5 pontos) Utilize as coordenadas cilíndricas para calcular
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) d V
onde E é o sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}\bigl(x^{2}+y^{2}+z\bigr)\,dV
onde E é o sólido no primeiro octante limitado por
z=1 - x^{2}-y^{2}
e pelo plano z=0.
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas. Vamos usar
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Determinar os limites em coordenadas cilíndricas. No primeiro octante:
0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Para cada (r,\theta), z vai de 0 até o paraboloide:
0 \le z \le 1 - r^{2}.
E em projeção no plano xy, r vai de 0 até onde 1 - r^{2}=0, ou seja
0 \le r \le 1.

Passo 3

Expressar o integrando em cilíndricas:
x^{2}+y^{2}+z = r^{2} + z.
Multiplicando pelo jacobiano r, o integrando se torna
(r^{2}+z)\,r = r^{3} + r\,z.
Logo
\iiint_{E}(x^{2}+y^{2}+z)\,dV = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-r^{2}}\bigl(r^{3}+r\,z\bigr)\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{1-r^{2}}\bigl(r^{3}+r\,z\bigr)\,dz = r^{3}(1-r^{2}) \;+\; r\int_{0}^{1-r^{2}}z\,dz.
E
\int_{0}^{1-r^{2}}z\,dz = \tfrac{1}{2}(1-r^{2})^{2}.
Então
r^{3}(1-r^{2}) + r\cdot\tfrac{1}{2}(1-r^{2})^{2} = r^{3}-r^{5} + \tfrac{r}{2}(1 - 2r^{2}+r^{4}) = \tfrac{r - r^{5}}{2}.

Passo 5

Agora integrar em r e \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}\frac{r - r^{5}}{2}\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}d\theta \int_{0}^{1}\bigl(r - r^{5}\bigr)\,dr.
Calcule
\int_{0}^{1}(r - r^{5})\,dr = \bigl[\tfrac{r^{2}}{2} - \tfrac{r^{6}}{6}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.
Então
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}d\theta = \frac{1}{6}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}.

Resposta

\frac{\pi}{12}.

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