Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{2^{n^{2}}}, a>0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{2^{n^{2}}},\quad a>0.
O conteúdo principal é o critério da raiz (ou da razão), pois temos um termo que envolve potência de n no expoente.

Passo 2

Vamos aplicar o critério da raiz: defina
u_n = \frac{a^{n}}{2^{n^{2}}}.
Então o teste diz que, se
L \;=\;\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n}
existe e L<1, a série converge absolutamente. Calculamos
\sqrt[n]{u_n} =\sqrt[n]{\frac{a^{n}}{2^{n^{2}}}} =\frac{a}{2^{n}}
e, portanto,
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a}{2^{n}} = 0.

Passo 3

Como o limite L=0 é menor que 1, o critério da raiz garante que a série converge absolutamente, logo converge, para todo valor de a>0.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{2^{n^{2}}} converge absolutamente (portanto converge) para todo a>0.

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