Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral xx^2-4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xx^2-4,dx
usando frações parciais. O conteúdo é integração de funções racionais, onde precisamos decompor a fração em somatório de termos mais simples e depois integrar cada um.

Passo 2

Começamos pela decomposição em frações parciais. Escrevemos
xx^2-4 =x(x-2)(x+2) =Ax-2+Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2), obtemos
x = A(x+2) + B(x-2)

Passo 3

Para achar A e B podemos usar valores convenientes de x:
  • Se x=2, então 2 = A(2+2) + Bcdot0, logo A = tfrac24 = tfrac12.
  • Se x=-2, então -2 = Acdot0 + B(-2-2), logo B = tfrac-2-4 = tfrac12.
Portanto
xx^2-4 =1/2x-2+1/2x+2

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral xx^2-4,dx =integrall(tfrac121x-2+tfrac121x+2r),dx =tfrac12integral1x-2,dx+tfrac12integral1x+2,dx
Cada termo é um logaritmo natural:
tfrac12integral1x-2,dx =tfrac12lnl|x-2r|, tfrac12integral1x+2,dx =tfrac12lnl|x+2r|

Passo 5

Somando e recolhendo o fator tfrac12, obtemos
12lnl|x-2r| +12lnl|x+2r| =12lnl|(x-2)(x+2)r| =12lnl|x^2-4r|

Resposta

integral xx^2-4,dx =12lnl|x^2-4r|+C

Exercícios relacionados