Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x^2+3x^2-9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2+3x^2-9,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando frações parciais. Como o grau do numerador não é menor que o do denominador, primeiro faremos divisão de polinômios.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^2+3 por x^2-9, obtemos
x^2+3x^2-9 = 1 + 12x^2-9
Agora reduzimos o problema a integrar 1 e tfrac12x^2-9.

Passo 3

A fração residual tfrac12x^2-9 é decomposta em frações simples:
12x^2-9 = Ax-3 + Bx+3
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) vem
12 = A(x+3) + B(x-3)
Para x=3 obtemos 12 = 6A, então A=2. Para x=-3 obtemos 12 = -6B, então B=-2. Logo
12x^2-9 = 2x-3 - 2x+3

Passo 4

Reescrevendo a integral e integrando termo a termo:
integral x^2+3x^2-9,dx = integral 1,dx + integral 2x-3,dx - integral 2x+3,dx
= x + 2lnlvert x-3rvert - 2lnlvert x+3rvert + C

Resposta

x + 2lnlvert x-3rvert - 2lnlvert x+3rvert + C

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